Hvor hurtigt går det?

Under optimale forhold kan bakterien E. Coli fordobles i antal på 20 min.
© EYE OF SCIENCE / SCIENCE PHOTO LIBRARY
Under optimale forhold kan bakterien E. Coli fordobles i antal på 20 min.
© EYE OF SCIENCE / SCIENCE PHOTO LIBRARY

Fremskrivningsfaktoren a eller vækstraten r siger noget om, hvor hurtigt en eksponentiel udvikling vokser eller aftager. Men hastigheden kan også beskrives ved hjælp af den såkaldte fordoblingskonstant for en voksende udvikling og halveringskonstanten for en aftagende udvikling. Disse konstanter giver ofte et klart billede af den eksponentielle udviklings konsekvenser. Her er nogle eksempler:

  • Hvis vækstraten i Indien fortsætter som i øjeblikket, vil Indiens befolkning fordobles i løbet af 45 år.
  • Nogle bakterier fordobles i antal hvert 20.minut.
  • Kviksølv udskilles meget langsomt, hvis det er optaget i menneskets hjernevæv. Halveringstiden er ca. 27 år.

Fordoblingskonstant og halveringskonstant

Eksempel 6 - Fordoblingskonstant

Tabellen viser sammenhørende talpar (x, y) for den voksende eksponentielle udvikling med ligningen y = 10·1,26x:  

Interaktivitet - Tabel for y = 10·1,26x

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Som det ses, fordobles y-værdien fra 10 til 20, når x-værdien vokser fra 0 til 3. y-værdien fordobles igen, når x vokser fra 3 til 6.

Øvelse til tabellen

Indtast andre x-værdier i det første felt. Bemærk, at uanset hvilken x-værdi du starter i, så fordobles y-værdien, når x-værdien vokser med 3. Derfor giver det mening at tale om en fordoblingskonstant, og i dette tilfælde er fordoblingskonstanten altså 3.

Fordoblingskonstant og halveringskonstant

Fordoblingskonstanten, T2, for en voksende eksponentiel udvikling er den x-tilvækst, der giver en fordobling af y-værdien.

Halveringskonstanten, T_\frac{1}{2}, for en aftagende eksponentiel udvikling er den x-tilvækst, der giver en halvering af y-værdien.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelser 8 - 12

Øvelse 8 - Eksponentiel sammenhæng

Nedenstående tabeller viser nogle sammenhørende talpar (x, y) for nogle voksende eksponentielle udviklinger. Bestem i hvert tilfælde fordoblingskonstanten og udvid hver tabel med yderligere to talpar (x, y).

x-2381318
y36122448
x18152229
y0,20,40,81,63,2
x2234465870
y9183672144

Øvelse 9 - Eksponentiel sammenhæng

Nedenstående tabeller viser nogle sammenhørende talpar (x, y) for nogle aftagende eksponentielle udviklinger. Bestem i hvert tilfælde halveringskonstanten og udvid hver tabel med yderligere to talpar (x, y).

x1215182124
y256128643216
x-46162636
y884422115,5
x-9-171523
y56281473,5

Øvelse 10 - Eksponentiel sammenhæng

  1. En størrelse, y, fordobles ved en x -tilvækst på 4. Hvad sker der med y -værdien ved en x -tilvækst på 12?
  2. En størrelse, y, halveres ved en x -tilvækst på 5. Hvad sker der med y -værdien ved en x -tilvækst på 20?

Øvelse 11 - Eksponentiel sammenhæng

Nedenstående tabeller viser nogle sammenhørende talpar (x, y) for nogle eksponentielle udviklinger. Bestem i hvert tilfælde fordoblingskonstanten eller halveringskonstanten og udvid hver tabel med yderligere to talpar (x, y).

x210
y416
x318
y10012,5

Øvelse 12 - Eksponentiel sammenhæng

Opstil en tabel, der viser sammenhørende værdier af tid og antallet af bakterier i en bakteriekultur, hvor bakterierne deler sig hvert 20. minut. Antag, at der er 100 bakterier i begyndelsen.  

Grafisk aflæsning

Fordoblings- og halveringskonstanten kan illustreres grafisk:

Interaktivitet - Fordoblings- og halveringskonstant grafisk

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelse til grafen

Træk i punktet A eller B på grafen. Beskriv, hvad der sker med forskellen mellem punkternes x -værdier og mellem punkternes y -værdier.

Gør dette for både en voksende og en aftagende eksponentiel udvikling.

I praksis aflæses T2 (eller T_\frac{1}{2}) på en graf ved først at finde et letaflæseligt punkt (x, y), som grafen går igennem. Herefter går man så langt til højre på grafen, at y -værdien netop er fordoblet (eller halveret). T2 (eller T_\frac{1}{2})er nu forskellen mellem de to punkters x-værdier.

Eksempel 7 - Aflæsning af graf

Vi vil afprøve den netop beskrevne metode til grafaflæsning.
Vi ser på grafen for den eksponentielle udvikling med ligningen y = 7,8·0,9x. Følg selv med ved at klikke på "SE GRAF" nedenfor. Der er tale om en aftagende eksponentiel udvikling, så vi skal bestemme T_{\frac{1}{2}}. Et letaflæseligt punkt på grafen er (2,5 ,6,0). Vi følger nu grafen til højre indtil y = 3. Den tilhørende x-værdi er omtrent x = 9,1. Halveringskonstanten er så afstanden mellem 2,5 og 9,1 på x-aksen, dvs. den er T_{\frac{1}{2}} = 9,1-2,5 = 6,6.

Øvelser 13 - 14

Øvelse 13 - Eksponentiel sammenhæng

Brug graftegneren til at aflæse fordoblingskonstanten eller halveringskonstanten for følgende eksponentielle udviklinger:

  1. y = 4,12· 1,35x
  2. y = 1,67· 0,75x

Øvelse 14 - Eksponentiel sammenhæng

Forklar med egne ord, hvad fordoblings- og halveringskonstant betyder.

Sammenhæng med fremskrivningsfaktoren

Fremskrivningsfaktor og fordoblingskonstant (eller halveringskonstant) er forbundne størrelser. Vi udleder her sammenhængen mellem a og T2 for en voksende eksponentiel udvikling y = b· ax.

Ved indsætning af x = 0 og x = T2 i denne ligning fås:

x0T2
y b    b\cdot a^{T_2}  
  

Bemærk pilen, der viser at y-værdien fordobles, når x vokser fra 0 til T2. Vi kan altså skrive: 

b\cdot a^{T_2}=2b\qquad \text{og dermed}\qquad a^{T_2} = 2   

Den sidste ligning angiver en generel sammenhæng mellem fremskrivningsfaktor og fordoblingskonstant. Hvis vi kender talværdien for en af dem, kan vi bestemme den anden ved hjælp af ligningsløseren i lommeregneren. Læg mærke til at b er uden betydning, for den dividerede vi ud på hver side af lighedstegnet.

Vi kan udlede en helt tilsvarende ligning for en eksponentielt aftagende udvikling. Resultaterne er anført i nedenstående bokse:           

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Sammenhæng mellem a og T2

For en voksende eksponentiel udvikling (a > 1) er:

a^{T_2}=2

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Sammenhæng mellem a og T_\frac{1}{2}

For en aftagende eksponentiel udvikling (0<a<1) er:

a^{T_\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 8 - Beregning af T2 og a

  1. Hvor lang tid går der, før Sofies saldo i eksempel 2 er fordoblet?

    Fremskrivningsfaktoren var a = 1,05, så vi skal løse denne ligning:

    1,05^{T_2} = 2

    I ligningsløseren skrives

    1,05^x = 2

    Resultatet er 14,2 år, så der går mere end 14 år, før Sofies opsparing er fordoblet.

  2. Det går sløjt med møbelfabrikken "Divanen". Firmaet regner med, at omsætningen vil blive halveret på 10 år. Hvis vi regner med, at den årlige (og negative) vækstrate er konstant, hvor meget falder omsætningen så med hvert år?

    Vi bestemmer først fremskrivningsfaktoren ved at løse ligningen

    a^{10} = \frac{1}{2}

    I ligningsløseren skrives

    x^{10} = \frac{1}{2}

    Det giver løsningen 0,933. Vækstraten er hermed

    r = a - 1 = 0,933 - 1 =-0,067

    Det betyder, at omsætningen falder med 6,7% hvert år.

    Det skal bemærkes, at ligningen a^{10} = \frac{1}{2} kan løses uden brug af ligningsløseren ved at tage den 10. rod af \frac{1}{2}:

    a=\sqrt[10]{\frac{1}{2}}=0,933

Note
Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelser 15 - 19

Øvelse 15 - Eksponentiel sammenhæng

Øvelse 16 - Eksponentiel sammenhæng

Øvelse 17 - Eksponentiel sammenhæng

  1. Tænk på voksende eksponentielle udviklinger. Hvad sker der med fordoblingskonstanten, når fremskrivningsfaktoren bliver større?
  2. Tænk på aftagende eksponentielle udviklinger. Hvad sker der med halveringskonstanten, når fremskrivningsfaktoren bliver mindre?

Øvelse 18 - Eksponentiel sammenhæng

I Mexico er der 112 mio mennesker (2010) og en årlig befolkningstilvækst på 1,13%.

  1. I hvilket årstal vil Mexicos befolkning nå op på 224 mio under antagelse af uændret vækstrate?
  2. Antag, at den årlige vækstrate også har været 1,13% i tidligere år og udregn, hvornår Mexicos befolkning var 56 mio. 

Øvelse 19 - Eksponentiel sammenhæng

I en virksomhed er timelønnen steget eksponentielt i en lang årrække. I 1985 var lønnen 120 kr. i timen og i 2008 var den 240 kr. i timen.

  1. Hvad er fordoblingskonstanten?
  2. Bestem den årlige procentvise stigning i timelønnen.

Opgaver 3 - 9

Opgave 3 - Eksponentiel sammenhæng

  1. I det afrikanske land Niger er der i øjeblikket (2010) en årlig befolkningsvækstrate på 3,68%. Hvilken fordoblingstid svarer det til?
  2. I hvilket årstal vil Nigers befolkning være fordoblet under forudsætning af en uændret vækstrate?
  3. I Rusland er der i øjeblikket (2010) en negativ årlig befolkningsvækstrate på -0,47%. Hvilken halveringstid svarer det til?
  4. I hvilket årstal vil Ruslands befolkning være halveret under forudsætning af uændret vækstrate?
  5. Forklar hvorfor forudsigelser som i denne opgave sjældent holder stik.

Opgave 4 - Eksponentiel sammenhæng

Bestem fordoblingskonstanten eller halveringskonstanten for hver af følgende eksponentielle udviklinger:

  1. y = 12· 1,37x
  2. y = 0,34· 1,01x
  3. y = 457· 0,96x
  4. y = 77· 0,65x

Opgave 5 - Eksponentiel sammenhæng

På en "Tarzansti" i en forlystelsespark har man iagttaget, hvor mange, der må give op undervejs. Det har vist sig, at der altid falder 17% fra over strækninger på 100 meter af banen. 

  1. Forklar, at i en gruppe af Tarzanaspiranter aftager antallet eksponentielt med den afstand, der tilbagelægges.   
  2. Bestem halveringskonstanten og forklar med ord, hvad dette tal siger om Tarzanstien.

Opgave 6 - Eksponentiel sammenhæng

Mængden af et radioaktivt stof aftager eksponentielt med tiden. Halveringskonstanten afhænger af hvilket stof, der er tale om. For C-14 (kulstof 14) er halveringstiden 5730 år. Kulstof 14 kan bruges til aldersbestemmelse af gammelt organisk materiale, fx moselig som Grauballemanden. I denne opgave ser vi på C-14.

  1. Bestem fremskrivningsfaktoren pr. 1000 år, dvs. regn i enheden "1000 år", så T_\frac{1}{2} = 5,73.
  2. Hvor mange procent C-14 henfalder på 1000 år?
  3. Sæt mængden af C-14 i en organisme til 100% ved dødstidspunktet. Opstil en ligning, der beskriver, hvor mange procent C-14, der er tilbage efter x - tusind år.
  4. Tegn en graf for den fundne sammenhæng.
  5. I forhold til dødstidspunktet indeholder Grauballemanden i dag (2010) 75,7% C-14.
    Hvornår døde Grauballemanden?

Opgave 7 - Eksponentiel sammenhæng

Når rotter lever under tilstrækkelige gode forhold, har en rottekoloni en fordoblingstid på ca. 50 dage.

  1. Brug oplysningen til at finde a i den eksponentielle sammenhæng y = b · ax.
  2. Hvis der er 10 rotter i en kloak, hvor rotterne har det godt - hvor lang tid går der så, før der er 1000 rotter?

Opgave 8 - Eksponentiel sammenhæng

Aflæs fordoblingskonstanten og halveringskonstanten på graferne, og bestem de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Du kan tjekke dine resultater ved at se på ligningerne for graferne - de står øverst til højre i grafvinduet. 

Opgave 9 - Eksponentiel sammenhæng

Når et menneske indtager et rusmiddel eller et medikament, vil stoffet typisk udskilles fra kroppen efter en aftagende eksponentiel udvikling (alkohol er en undtagelse - her sker udskillelsen lineært med tiden).
Ved indtagelse af hash stiger koncentrationen af det aktive stof, THC, hurtigt i blodet. Herfra vil hovedparten optages af kroppens fedtvæv (THC er fedtopløseligt) over 3-4 timer, mens hashrusen står på.  Fra fedtvævet udskilles det meget langsomt tilbage til blodet. Det betyder at kroppen skiller sig af med stoffet med en, i sammenligning med andre rusmidler, meget lang halveringstid. I denne opgave regner vi med, at halveringstiden er 3 døgn.
En person ryger noget hash og optager derved 25 mg THC (1 mg = 0,001 g). Stoffet udskilles eksponentielt med halveringstiden 3 døgn.

  1. Bestem fremskrivningsfaktoren for den eksponentielle udvikling.
  2. Hvor mange procent THC udskilles der hvert døgn?  
  3. Hvor mange mg THC er der tilbage i fedtvævet efter en uge? efter 4 uger? (Hvis man har røget hash, kan det konstateres i urinprøver i op til flere måneder efter indtagelsen).