I trigonometri-afsnittet har I måske arbejdet med projektforløbet omkring Pythagoras' sætning og matematisk argumentation. I dette kapitel går vi lidt dybere ned i nogle af matematikkens grundlæggende begreber og ser nærmere på forskellige bevisteknikker. Dette kapitel kan betragtes som supplerende stof.

Du skal logge ind for at skrive en note

Matematikkens opbygning

Euclid fra "Athenerskolen" af Rafael (Udsnit)

Wikipedia

Euclid fra "Athenerskolen" af Rafael (Udsnit)

Wikipedia

Ca. 300 f.Kr. levede matematikeren Euklid i det antikke Grækenland. Hans værk Elementerne er et vigtigt grundlag for den moderne matematik. Det er bl.a. på baggrund af hans arbejde, at matematikken er opbygget som et logisk system af aksiomer, definitioner og sætninger.

Definitioner bruges til at sætte navn på og afgrænse nye begreber. Et eksempel på en definition er, at der er 360 grader rundt i en cirkel.

Et andet eksempel er Euklids definition af et punkt:

"Et punkt er det, der ikke kan deles".

Aksiomer er nogle almene regler, som antages at være sande. Euklids almene aksiomer er:

  1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store.
  2. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store.
  3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store.
  4. Størrelser, der kan dække hverandre, er indbyrdes lige store.
  5. Det hele er større end en del deraf.

Sætninger bygger videre på definitioner og aksiomer, og de giver os ny viden. Et eksempel herpå er Pythagoras' sætning om retvinklede trekanter.

Du skal logge ind for at skrive en note

Matematiske sætninger skal bevises. Det vil sige, at vi med udgangspunkt i aksiomer, definitioner og andre sætninger skal kunne argumentere for, at sætningen er sand.

Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelser 1-3

Øvelse 1 - Matematisk argumentation

Overvej, og diskutér Euklids almene aksiomer. 

  • Hvad betyder de, og giver de god mening for jer?

I forhold til ligningsløsning er der opsat en række regler, der kan bruges til at løse ligninger:

  1. Vi kan lægge det samme tal til på hver side af lighedstegnet.
  2. Vi kan trække det samme tal fra på hver side af lighedstegnet.
  3. Vi kan gange med det samme tal (dog ikke 0) på hver side af lighedstegnet.
  4. Vi kan dividere med det samme tal (dog ikke 0) på hver side af lighedstegnet.
  • Kan I genkende nogle af disse regler i Euklids almene aksiomer?

Øvelse 2 - Matematisk argumentation

© iStockphoto/Diego Cervo

© iStockphoto/Diego Cervo

Er det mon muligt at bevise en matematisk sætning ved blot at prøve sig frem?

Forestil dig, at en af dine venner siger:

"Udtrykket  n2 + n + 41 giver altid et primtal, når n er et naturligt tal".

Spørgsmålet er, om det er en sand sætning? (primtal er positive hele tal, hvorom gælder, at det kun er tallet 1 og tallet selv, der går op i tallet)

Hvis n = 1 giver udtrykket 12 + 1 + 41 = 43, og da 43 er et primtal, er sætningen sand for n = 1.

Hvad med 2? Med n = 2 giver udtrykket 22 + 2 + 41 = 47, og 47 er også et primtal, så for n = 2 er sætningen også sand.

Kan vi ud fra disse eksempler konkludere, at sætningen altid er sand? Nej, det kan jo være, at den ikke gælder for n = 3 eller n = 4.

  • Undersøg, om sætningen gælder for 3, 4 og 5.
  • Kan du på den baggrund konkludere, at sætningen er sand?
  • Find nu et helt tal, som kan sættes ind på n 's plads, og som ikke giver et primtal. Du skal søge langt op, måske helt op omkring n = 50. For at undersøge om et tal er et primtal, kan du bruge værktøjet nedenfor, der kan faktorisere tal (dvs. finde de mindste tal, der kan ganges sammen for at få det tal, der skal faktoriseres).

Faktoriseringsværktøj.

Øvelse 3 - Matematisk argumentation

"De 7 broer i Königsberg" er et klassisk matematisk problem. Königsberg hedder i dag Kaliningrad og er en russisk havneby, som bliver gennemskåret af floden Pregel. I floden findes to øer, og da problemet blev beskrevet første gang, var der i alt 7 broer, der forbandt de to sider af floden og øerne. Problemet var, at man gerne ville lave en vandretur gennem byen, hvor man kom til at gå over alle broerne præcis én gang. 

Spørgsmålet er, om det kan lade sig gøre.

  • Gør tegningen til højre stor ved at klikke på den. Prøv, om du kan lave sådan en vandretur. Du bestemmer selv start- og slutsted for vandreturen.

På trods af, at alle i klassen prøver rigtig mange gange, er det helt sikkert ikke lykkedes for nogen at lave en sådan tur.

Men er det et bevis for, at det ikke kan lade sig gøre?

Nej, det er det ikke. For det kan jo være, at vi finder en løsning, hvis vi prøver én gang mere. Så selvom vi prøver forgæves 1000 gange, betyder det ikke, at det ikke kan lade sig gøre.

Rent faktisk beviste den kendte matematiker Leonhard Euler (1707-83) i 1735, at det ikke er muligt at lave en rute gennem byen, som går over alle broer netop én gang.

Men prøv gerne igen! Du er oppe mod selveste Leonard Euler.

Du skal logge ind for at skrive en note

Udsagn og sætninger

I matematik arbejder vi med udsagn. Et udsagn er en udtalelse, som enten er sand eller falsk, men ikke begge dele. To eksempler på udsagn er: "Odense ligger på Fyn" og "1 + 1 = 3". Derimod er "Peter er høj" og "2x + 3" ikke udsagn.

Udsagn kan enten være åbne eller lukkede. Ved et åbent udsagn kan man ikke umiddelbart afgøre om det er sandt, da der indgår en variabel. "x + 4 = 7" er et åbent udsagn, fordi vi først kan afgøre om det er sandt, når der indsættes et bestemt tal på x' plads. Udsagn der ikke er åbne kaldes lukkede.

Udsagn bruges bl.a. i matematiske sætninger, som generelt er på formen:

          Hvis P Q         hvor P og Q er udsagn.

Dette betyder, at hvis P er sand, så er Q også sand. Denne opbygning kendes fx fra Pythagoras' sætning, der siger ”Hvis en trekant er retvinklet, så er a2 + b2 = c2 ”.

Bemærk at vi ikke siger, at P er sand, men kun at hvis P er sand, er Q det også.

For at forstå logikken i matematiske sætninger, ser vi her på et lille tankeeksperiment.

Du skal logge ind for at skrive en note

Tankeeksperiment

© iStockphoto/Wendy Carter
© iStockphoto/Wendy Carter

Forestil jer, at I er rygere. Jeres altid fromme lærer siger nu pludselig:

     ”Alle tabere er rygere

Bliver I provokeret af det?  Diskuter, hvad det egentlig er, jeres lærer siger.

Du skal logge ind for at skrive en note

Når man siger, at ”alle tabere er rygere” konkluderer man, at hvis man er en taber, ja så er man også ryger. Man siger ikke noget om, at man er taber, bare fordi man ryger. Denne forskel beskriver vi i matematik med den såkaldte medførerpil \Rightarrow. En medførerpil beskriver således sammenhængen mellem to udsagn.

"Alle tabere er rygere" vil således kunne skrives som:

\text {taber} \Rightarrow \text {ryger}

Medførerpilen angiver en ”hvis … ” sammenhæng. Hvis det første udsagn er sandt, så er det andet udsagn også sandt.

Diskuter, hvordan man kan sige sammenhængen \text {ryger} \Rightarrow \text {taber}, og diskuter hvad det betyder.

Du skal logge ind for at skrive en note

Svar

Man kan sige det som "alle rygere er tabere" eller "hvis du er ryger, så er du en taber". 

Betydningen er meget anderledes end i \text {taber} \Rightarrow \text {ryger}. Nu har man rent faktisk ret til at blive fornærmet, hvis man er ryger.

Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelser 4-5

Øvelse 4 - Matematisk argumentation

Luther, som dannede grundlaget for den protestantiske kirke i Nordeuropa, sagde bl.a.:

  • Ingen gode gerninger gør en mand god, men en god mand gør gode gerninger.

Hvad betyder dette, og hvordan skal pilen vende mellem ”gode gerninger” og ”god mand” ifølge Luther?
Hvordan ville det lyde, og hvad ville det betyde, hvis pilen vendte omvendt?

Øvelse 5 - Matematisk argumentation

Vi har to udsagn:

P : Bilens batteri er fladt    og   Q: Bilen vil ikke starte

Gælder P \Rightarrow Q ?

Gælder Q \Rightarrow P ?

Du skal logge ind for at skrive en note

I en del sætninger gælder både, at P medfører Q, og at Q medfører P, dvs.

P \Rightarrow Q \quad \text {og} \quad Q \Rightarrow P

Dette skrives kort med den såkaldte biimplikationspil, nemlig P \Leftrightarrow Q, hvilket læses: P er ensbetydende med Q.

P \Leftrightarrow Q betyder, at hvis udsagnet P er sand, så er udsagnet Q også sand og omvendt.

Biimplikationspilen eller den ensbetydende pil \Leftrightarrow kendes også fra ligningsløsning. Ved ligningsløsning viser den netop sammenhængen mellem to åbne udsagn, hvor der gælder, at hvis det ene udsagn er sandt, så er det andet det også og omvendt.

Du skal logge ind for at skrive en note

Øvelse 6

Øvelse 6 - Matematisk argumentation

Den omvendte Pythagoras' sætning

Pythagoras' sætning siger som bekendt, at hvis ABC er en retvinklet trekant , er a 2 + b 2 = c 2. Med vores nye notation kan vi skrive det som:

\text {Trekant } ABC \text { er retvinklet} \Rightarrow a ^2 + b ^2 = c ^2

Men sætningen gælder faktisk også omvendt - altså hvis a 2 + b 2 = c 2, er trekanten ABC retvinklet med C som den rette vinkel. Dette kaldes for den omvendte Pythagoras. Den kan skrives som:

a ^2 + b ^2 = c ^2 \Rightarrow \text {Trekant } ABC \text { er retvinklet}

Så alt i alt har vi:

\text {Trekant } ABC \text { er retvinklet} \Leftrightarrow a ^2 + b ^2 = c ^2

Den omvendte Pythagoras' sætning kan bruges til at finde ud af, om en given trekant er retvinklet.

Forestil dig en trekant med siderne 4,5, 6 og 7,5. For at undersøge om dette er siderne i en retvinklet trekant, indsætter vi i ligningen a 2 + b 2 = c 2. Da den længste side er 7,5, må c = 7,5, mens vi lader a = 4,5 og b = 6. Vi kan nu undersøge, om ligningen er sand:

4,5 ^2 + 6 ^2 = 7,5 ^2

Udregnes de to sider, får vi, at:

56,25 = 56,25

Da dette er sandt, kan vi ud fra den omvendte Pythagoras konkludere, at trekanten er retvinklet.

Undersøg, om nedenstående trekanter er retvinklede. Hvis de er, skal du angive, hvad den rette vinkel hedder.

  1. Trekant ABC med siderne: a = 4,5 , b = 6, c = 7,5
  2. Trekant DEF med siderne: d = 2 , e = 7, f = 9
  3. Trekant MNO med siderne: m = 2,5 , n = 1,5, o = 2
Du skal logge ind for at skrive en note
ISBN: 9788761623249. Copyright forfatterne og Systime A/S 2010